15. Maxwellove rovnice

zdroj: https://sk.wikipedia.org/wiki/Maxwellove_rovnice

Maxwellove rovnice sú základné zákony elektromagnetického poľa. Možno ich zapísať buď v integrálnom alebo diferenciálnom tvare. V integrálnom tvare opisujú elektromagnetické pole v istej oblasti a v diferenciálnom tvare v určitom bode tejto oblasti.

Formulácia Maxwellových rovníc

Nižšie uvedený zápis je platný v jednotkách sústavy SI. V iných sústavách sa v zápise objavujú navyše konštanty ako napr. rýchlosť svetla c a 4 π (Ludolfovo číslo) v sústave CGS.

1. Maxwellova rovnica (zákon celkového prúdu, zovšeobecnený Ampérov zákon)

integrálny tvar:

c ⁡ H ⋅ dl = I + dΨ / dt
Ψ ≡ ∫S D ⋅ dS
I = ∫S j ⋅ dS

Cirkulácia vektoru H po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná súčtu celkového vodivého prúdu I a posuvného prúdu d Ψ d t , uzavretého krivkou c, Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka vymedzuje sú navzájom pravotočivo orientované.

diferenciálny tvar:

∇ × H = j + ∂D . ∂t

Rotácia vektoru intenzity magnetického poľa H je rovná hustote vodivého prúdu j a hustote posuvného (Maxwellovho) prúdu ∂ D ∂ t .

2. Maxwellova rovnica (Zákon elektromagnetickej indukcie, Faradayov indukčný zákon)

integrálny tvar

c ⁡E ⋅ dl = − dΦ . dt , Φ ≡ ∫S B ⋅ dS

Cirkulácia vektoru E po ľubovolnej orientovanej uzavretej krivke c je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetického indukčného toku prechádzajúceho plochou S, ktorá je ohraničená krivkou c. Krivka c a ľubovolná plocha S, ktorú krivka obopína, sú vzájomne orientované pravotočivo.

diferenciálny tvar

∇ × E = − ∂B . ∂t

Rotácia vektoru intenzity elektrického poľa E je rovná záporne vzatej časovej derivácii magnetickej indukcie B .

3. Maxwellova rovnica (Gaussov zákon elektrostatiky)

integrálny tvar

S D ⋅ dS = Q
Q = ∫V ρ . dV

Elektrický indukčný tok ľubovoľnou von orientovanou plochou S je rovný celkovému voľnému náboju v priestorovej oblasti V ohraničenej plochou S.

diferenciálny tvar

∇ ⋅ D = ρ

Divergencia vektoru elektrickej indukcie D je rovná objemovej hustote voľného náboja ρ. Ekvivalentná formulácia: siločiary elektrickej indukcie začínajú alebo končia tam, kde je prítomný elektrický náboj.

4. Maxwellova rovnica (Zákon spojitosti magnetického indukčného toku)

integrálny tvar

S B ⋅ dS = 0

Magnetický indukčný tok ľubovolnou uzavrenou orientovanou plochou S je rovný nule.

diferenciálny tvar

∇ ⋅ B = 0

Divergencia vektoru magnetickej indukcie B je rovná nule. Ekvivalentná formulácia: neexistujú magnetické monopóly (neexistujú magnetické náboje).

V Maxwellových rovniciach boli použité fyzikálne premenné:

Označenie - Význam - Jednotka SI
E - intenzita elektrického poľa - V/m
H - intenzita magnetického poľa - A/m
D - elektrická indukcia - C/m²
B - magnetická indukcia - T
ρ - hustota voľného náboja - C/m³
j - hustota prúdu - A/m²

Materiálové vzťahy pre materiály s lineárnou závislosťou

Pre širokú triedu materiálov možno predpokladať, že sú veličiny hustota polarizácie P (C/m2) a hustota magnetizácie M (A/m) vyjadrené ako:

P = χe ε0 E
M = χm H

a že pole D a B sú s E a H sú zviazané vzťahmi:

D = ε0 E + P = ( 1 + χe ) ε0 E = ε E
B = μ0 ( H + M ) = ( 1 + χm ) μ0 H = μ H

kde:

χe - je elektrická susceptibilita materiálu,
χm - je magnetická susceptibilita materiálu
ε - je elektrická permitivita materiálu
μ - je magnetická permeabilita materiálu

V nedisperznom izotropnom prostredí sú ε a μ skaláry nezávislé od času, takže Maxwellove rovnice prejdú na tvar:

∇ ⋅ ε E = ρ
∇ ⋅ μ H = 0
∇ × E = − μ∂ . H . ∂t
∇ × H = j + ε ∂E . ∂t

V homogénnom prostredí sú ε a μ konštanty nezávislé od polohy a možno teda ich polohu zameniť s parciálnymi deriváciami podľa súradníc.

Všeobecne môžu byť ε a μ tenzormi druhého stupňa, ktoré potom odpovedajú popisu dvojlomových (anizotropných) materiálov. Nehľadiac na tieto priblíženia však každý reálny materiál vykazuje istú materiálovú disperziu, kvôli ktorej ε alebo μ závisí na frekvencii.

Pre väčšinu typov vodičov platí medzi prúdom a elektrickou intenzitou Ohmov zákon v tvare

j = γ E
kde γ je merná vodivosť daného materiálu.

Maxwellove rovnice ako vlnové rovnice potenciálov

Ekvivalentne (a často s výhodou) možno vyjadriť Maxwellove rovnice pomocou skalárneho a vektorového potenciálu Φ, ktoré sú definované tak, aby platilo

B = ∇ × A E = − ∇ Φ − ∂ A ∂ t

E sa pritom nezmenia, ak od potenciálu Φ , alebo k A pričítame ∇ ξ, kde ξ je ľubovolná skalárna funkcia. Preto pre jednoduchosť výsledných rovníc môžeme navyše zvoliť tzv. Lorentzovu kalibračnú podmienku

∇ ⋅ A + ε μ ∂Φ / ∂t = 0

Maxwellove rovnice potom majú tvar vlnových rovníc v časopriestore

◻ Φ = − ρ ε
◻ A = − μ j

kde ◻ je d’Alembertov operátor.

V špeciálnej teórii relativity tvorí elektrický a magnetická potenciál dohromady štvorvektor nazývaný štvorptenciál A ν . D'Alembertov operátor je tiež možné zobecniť na štvorvektory. V tomto formalizme (a s predpokladom Lorenzovej podmienky) sa dajú všetky Maxwellove rovnice napísať pomocou jednej nehomogénnej vlnovej rovnici

◻ Aν = − μ Jν

kde Jν je elektrický štvorprúd a μ je permeabilita. Vo vákuu je štvorprúd nulový, takže rovnica sa stane homogénnou a jej riešenie zodpovedá šíreniu elektromagnetických vĺn.