5. Striedavý prúd

1. Vznik a veličiny striedavého prúdu

Striedavý prúd sínusového priebehu vzniká v závitoch vodičov, ktoré sa otáčajú v magnetickom poli. Parametrom sínusového priebehu na osi x môže byť uhol α otočenia závitu voči magnetickej indukcii, alebo čas.

Perióda T je čas, kedy striedavý prúd alebo napätie prejde všetkými hodnotami. Pre slučku je to čas otočenia o 360°.

Frekvencia f je počet peród za sekundu. Jednotka je Hertz, značka Hz. Pre motory sa používa jednotka otáčky za minútu, značka RPM.

f = 1 / T

1 Hz = 60 RPM

Príklad 1: V sieti sa používa frekvencia 50 Hz. Akú má periódu?

T = 1 / f = 1 / 50 Hz = 0,02 s = 20 ms

Príklad 2: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko má otáčok za minútu?

50 Hz = 50 . 60 RPM = 3 000 RPM

Uhlová rýchlosť ω je uhol otočenia za čas. Jednotka je radián za sekundu, rad/s. Pre sínusový priebeh napätia alebo prúdu je uhol parameter na osi x.

ω = 2 . π / T = 2 . π . f

Príklad 3: Akú uhlovú rýchlosť má motor s otáčkami 3000 RPM?

3 000 RPM = (3 000 : 60) Hz = 50 Hz
ω = 2 . π . f = 2 . 3,14 rad . 50 Hz = 314 rad/s

Príklad 4: Akú uhlovú rýchlosť má striedavé napätie s frekvenciou 50 Hz?

ω = 2 . π . f = 2 . 3,14 rad . 50 Hz = 314 rad/s

Efektívna hodnota striedavého napätia Uef alebo prúdu Ief je rovnaká ako jednosmerná hodnota s rovnakými tepelnými účinkami.

Uef = 1/√(2) . Umax = Umax / 1,414 = 0,707 . Umax

Ief = 1/√(2) . Imax = Imax / 1,414 = 0,707 . Imax

Príklad 5: V sieti je efektívne napätie 230 V. Akú má maximálnu hodnotu?

Uef = 1/√(2) . Umax
Umax = Uef . √(2)
Umax = 230 V . 1,414 = 325 V

Príklad 6: Elektrický ohrievač odoberá prúd s efektívnou hodnotou 10 A. Aká je jeho maximálna hodnota?

Ief = 1/√(2) . Imax
Imax = Ief . √(2)
Imax = 10 A . 1,414 = 14,1 A

2. Fázory

Fázor je vektor striedavého napätia alebo prúdu vyjadrený v polárnych súradniciach, teda veľkosťou a uhlom. Fázory sa používajú pri určení výsledných hodnôt v obvodoch s väčším počtom striedavých napätí alebo prúdov s rovnakou frekvenciou. Používajú sa vektorové súčty alebo rozdiely známe z geometrie.

Fázový posun φ je orientovaný uhol medzi dvoma fázormi.

Príklad 7: Nakreslite súčet dvoch sínusových napätí s rovnakou hodnotou fázovo posunutých o 120°

Príklad 8: Nakreslite súčet dvoch sínusových prúdov s rôznou hodnotou fázovo posunutých o 90°

3. Rezistor, kondenzátor a cievka v obvode striedavého prúdu

Na rezistore napätie a prúd nie sú posunuté. Fázový posun je nulový.

Na cievke napätie predchádza prúd. Pre sínusový priebeh je fázový posun napätia voči prúdu +90°.

Na kondenzátore napätie zaostáva za prúdom. Pre sínusový priebeh je fázový posun medzi napätím a prúdom -90°

4. Reaktancia, impedancia

Reaktancia X je prekážka, ktorú kladie cievka alebo kondenzátor prechádzajúcemu striedavému prúdu. Jednotka je ohm, Ω. Prúd vypočítame podľa Ohmovho zákona:

I = U / X

Reaktancia cievky XL rastie s jej indukčnosťou a frekvenciou napätia, a spôsobuje fázový posun napätia +90°.

XL = ω . L
kde
L - je indukčnosť cievky (Henry, H)
ω - uhlová rýchlosť napätia alebo prúdu (rad/s)

Príklad 9: Cievka má indukčnosť 2 H a je pripojená na napätie 230 V 50 Hz. Akú má reaktanciu a aký prúd cez ňu tečie?

ω = 2 . π . f = 2 . 3,14 rad . 50 Hz = 314 rad/s
XL = ω . L = 314 rad/s . 2 H = 628 Ω
I = U / XL = 230 V / 628 Ω = 0,37 A

Reaktancia kondenzátora XC závisí nepriamo od kapacity kondenzátora a frekvencie. Ak je kapacita a frekvencia väčšia, reaktancia je menšia.

XC = 1 / ω.C
kde
C - je kapacita kondenzátora [Farad, F]
ω - je uhlová rýchlosť [rad/s]

Príklad 10: Kondenzátor s kapacitou 100 nF je pripojený na 230 V 50 Hz. Akú má reaktanciu a aký prúd ním tečie?

ω = 2 . π . f = 2 . 3,14 rad . 50 Hz = 314 rad/s
C = 100 nF = 10-7 F
XC = 1 / ω.C = 1 / (314 rad/s . 10-7 F) = 31 800 Ω = 31,8 kΩ
I = U / XC = 230 V / 31 800 Ω = 0,007 2 A = 7,2 mA

RLC obvod je zložený z rezistorov, kondenzátorov a cievok.

Impedancia Z je prekážka ktorú kladie RLC obvod prechádzajúcemu striedavému prúdu. Je vektorovo zložená z reaktancií kapacít a indukčností, a odporu obvodu. Jednotkou je ohm, Ω. Platí ohmov zákon:

I = U / Z

Sériový RLC obvod má za sebou zaradenú indukčnosť, kapacitu a odpor. Napätie zdroja sa rozloží na tieto sériovo zaradené súčiastky. Preto môžeme použiť na výpočet fázory napätia pre kondenzátor a cievku, ktoré majú vzájomný fázový posun 180°, a fázor napätia na odpore, voči ktorému predchádzajúce fázory posun 90°. Podľa ohmovho zákona môžeme pracovať priamo s vektormi reaktancií a odporu. Numerický výpočet je pomocou Pytagorovej vety v pravoúhlom trojuholníku:

Z = √(R2 + (XL - XC)2)

Príklad 11: Vypočítajte impedanciu a prúd sériového RLC obvodu pripojený na napätie 230 V 50 Hz, ak obsahuje cievku s indukčosťou 2 H, kondenzátor s kapacitou 10 μF, a rezistor s odporom 100 Ω.

ω = 2 . π . f = 2 . 3,14 rad . 50 Hz = 314 rad/s
XL = ω . L = 314 rad/s . 2 H = 628 Ω
C = 10 μF = 10-5 F
XC = 1 / ω.C = 1 / (314 rad/s . 10-5 F) = 318 Ω
R = 100 Ω
Z = √(R2 + (XL - XC)2) = √(1002 + (628 - 318)2) Ω = 325,8 Ω
I = U / Z = 230 V : 325,8 Ω = 0,706 A

Fázový posun φ medzi napátím a prúdom možno vypočítať z pomeru odporu a reaktancií, napríklad:

tan φ = (XL - XC) / R

cos φ = R / Z

Príklad 12: Vypočítajte fázový posun medzi napätím a prúdom z predchádzajúceho príkladu.

tan φ = (XL - XC) / R
tan φ = (628 Ω - 318 Ω) : 100 Ω
φ = arctan(3,1)
φ = 72°

alebo

cos φ = R / Z
cos φ = 100 Ω / 325,8 Ω
φ = arccos(0,307)
φ = 72°

5. Rezonancia

Rezonancia je stav kedy sa v RLC obvode reaktancia kondenzátora rovná reaktancii cievky. Pri rezonančnej frekvencii f0 tečie v paralelnom RLC obvode minimálny prúd, v sériovom maximálny prúd. I = U / R.

Frekvencia, pri ktorej nastáva rezonancia vypočítame z rovnosti reaktancií cievky a kondenzátora:

XL = XC

ω . L = 1 / ω.C
ω2 = 1 / L.C
ω = 1 / √(L.C)
2.π.f = 1 / √(L.C)
f = 1 / 2π√(L.C)

Príklad 13: Paralelný RLC obvod má R = 100 Ω, L = 2 H, C = 10 μF. Vypočítajte jeho rezonančnú frekvenciu.

f = 1 / 2π√(L.C) = 1 / ((2.3,14 rad).√(2 H . 10-5 F)) = 35,6 Hz

Príklad 14: Paralelný RLC obvod má indukčnosť 2 H. Vypočítajte kapacitu kondenzátoru, aby vznikla rezonancia pri 50 Hz.

ω2 = 1 / L.C
C = 1 / ω2.L
ω2 = (2 . 3,14 rad . 50 Hz)2 = 98 596 rad2s-2
C = 1 / (98 596 rad2s-2 . 2 H)
C = 0,000005071 F = 5,1 μF

6. Výkon v obvode striedavého prúdu

V obvode striedavého prúdu sa používajú tieto výkony:

Činný výkon P = U . I . cos φ [W]

Jalový výkon Q = U . I . sin φ [var]

Zdanlivý výkon S = U . I [VA]

Zdanlivý výkon S je daný súčtom napätia a odoberaného prúdu. Jednotkou je voltampér, značka VA. Fázový posun φ je daný reaktanciami a odporom v obvode. Jednotka je radián, rad. Činný výkon je užitočný výkon, napríklad teplo z ohrievača, alebo mechanická práca elektromotora. Jednotkou je Watt, W. Meriame ho wattmetrom. Účinník cos φ vyjadruje pomer činného a zdanlivého výkonu. Jalový výkon Q vyjadruje jalovú zložku výkonu, ktorá nekoná žiadnu prácu, iba sa presúva medzi zdrojom a spotrebičom s fázovým posunom. Jednotka je var, var.

Uvedené údaje sú uvádzané na štítkoch elektrospotrebičov, a sú podstatné pri posudzovaní zbytočného zaťažovania elektrickej siete.

Vzťah medzi výkonmi P, Q a S možno vyjadriť pomocou fázorov s posunom o 90°, možno použiť Pytagorovu vetu:

S^2 = P^2 + Q^2

Príklad 15: Obvod odoberá činný výkon 10 kW a jalový 5 kW. Vypočítajte zdanlivý výkon.

S^2 = P^2 + Q^2
S^2 = 10^2 + 5^2
S^2 = 125
S = √125
S = 11,2 kW

Príklad 16: Obvod odoberá zdanlivý výkon 10 kW a má fázový posun 25° = 0,44 rad. Vypočítajte činný a jalový výkon.

P = S . cos φ = 10 kW . cos(25°) = 9,1 kW
Q = S . sin φ = 10 kW . sin(25°) = 4,2 kW

Príklad 17: Elektromotor má na štítku uvedené: 3 kW, cos φ = 0,86. Aký má činný, jalový a zdanlivý výkon?

Činný výkon P = 3 kW
Zdanlivý výkon S = P / cos φ = 3 kW : 0,86 = 3,49 kW
Jalový výkon Q = √(S2 - P2) = √(3,492 - 32) = 1,78 kW

7. Trojfázová sústava

Vznik a priebeh 3-fázového napätia: Ak umiestnime 3 cievky rovnomerne v kruhu, budú otočené o uhol 120°. Umiestnime do ich stredu tyčový magnet a začneme ním krútiť. V cievkach sa indukuje napätie, pričom medzi každými dvoma cievkach bude posunuté napätie o 120°, čiže o 1/3 periódy sínusového priebehu. Na tomto princípe sú založené alternátory, ktorý vyrábajú 3-fázový prúd do elektrickej siete.

Zapojenia trojfázových vinutí:

a) zapojenie do hviezdy

Značenie vodičov:
L1, L2, L3 - fázové vodiče
N - neutrálny vodič (nulak)

Značenie napätí:
Uf - fázové napätie, je medzi fázami a neutrálnym vodičom
Uz - združené napätie, je medzi ktorýmikoľvek dvoma fázami
Fázami tečie fázový prúd If

Veľkosť a fázový posun združeného napätia možno určiť z fázorového diagramu. Numericky možno veľkosť združeného namätia vypočítať:

Uz = √3 . Uf = 1,73 . Uf

Príklad 18: Fázové napätie je 230 V. Vypočítajte združené napätie.

Uz = 1,73 . Uf = 1,73 . 230 V = 400 V

b) zapojenie do trojuholníka

Na fázach je iba združené napätie.

Výkon v 3-fázovej sústave na odporovej záťaži pri pripojení združeného napätia oproti pripojenia fázového napätia, je 3x vyšší.

Uz = √3 . Uf
Pz = Uz^2 / R
Pz = (√3 . Uf)^2 / R
Pz = 3 . Uf^2 / R
Pz = 3 . Pf

Príklad 19: Výkon motora pripojeného na združené napätie 400 V je 3 kW. Aký bude jeho výkon po prepnutí na fázové napätie 230 V?

Pf = Pz : 3 = 3 kW : 3 = 1 kW

alebo

Pf = Pz : (400 V / 230 V)2 = 3 kW : 3 = 1 kW

PrílohaVeľkosť
elk52.png5.24 KB
trojuholnik.png3.26 KB
hviezda.png4.64 KB
elk53.png2.79 KB
elk55.png3.34 KB
elk51.png2.19 KB
elk51a.png1.62 KB